1. 서 론

하천제방은 홍수 시 하천의 범람을 방지하는 수공구조물로 그 기능을 유지하기 위해서는 월류뿐 아니라 제체와 기초지반을 통한 침투에 대해서도 안정성을 확보해야 한다. 홍수 시 침투흐름은 지반의 유효응력 변화와 토립자 이동을 유발하여 파이핑이나 사면 불안정으로 이어질 수 있으므로, 침투에 따른 불안정 가능성을 평가하는 것은 제방의 치수 안전성 확보에 중요하다. 또한 제방의 침투 거동과 안정성은 홍수위, 지속시간, 지반의 수리·역학적 특성에 따라 달라지므로, 지반정수의 불확실성을 고려하여 수위 조건별 취약도를 정량적으로 평가할 필요가 있다(Rossi et al. 2021).

지반 물성치를 고정하는 결정론적 침투해석은 주어진 조건에서의 역학적 거동과 안전율을 평가하는 데 유용하지만, 물성 불확실성이 큰 흙 제방의 취약성을 평가하는 데에는 한계가 있다. 이에 따라 지반정수를 확률변수로 설정하고 반복적인 수치해석으로 응답의 확률분포를 산정하는 접근이 활용되어 왔다(Fenton and Griffiths 1996). 취약도 곡선은 이러한 결과를 수위와 같은 외력 조건에 대한 조건부 한계상태 초과확률로 나타내며, 단면별 취약성 비교와 조사·보강 우선순위 검토를 지원한다(Vorogushyn et al. 2009, Rossi et al. 2021). 네덜란드, 영국 및 미국에서는 확률론적 성능평가를 홍수위험도 분석과 관리 의사결정에 활용하고 있다(Rijkswaterstaat 2013, USACE 2020, Defra and Environment Agency 2021).

그러나 국내 실무에서 확률론적 침투 취약도 평가를 도입하는 데에는 현실적인 한계가 있다. SLOPE/W는 지반정수의 확률분포를 반영한 사면안정 확률해석을 직접 지원하지만, SEEP/W에서 침투 취약도를 산정하려면 Python 등 외부 프로그램으로 표본 생성, 반복 해석, 응답 추출 및 확률계산 절차를 별도로 구현해야 한다. PLAXIS 2D/3D도 침투 및 흐름–변형 연계해석의 Python 기반 자동화를 지원하지만, 확률표본 생성, 한계상태 판정 및 취약도 산정 절차는 사용자가 구성해야 한다. 이러한 외부 연계 방식은 결과 해석과 검증, 비수렴 표본의 재처리 및 병렬 계산 관리에 추가 부담을 주며, 상용 프로그램의 라이선스와 자동화 기능에 따라 대규모 반복 계산의 효율성이 제한될 수 있다(Park and Lee 2026).

따라서 실무 적용을 위해서는 자체 침투해석 솔버와 확률해석 절차를 통합하여 표본 생성, 비선형 반복 계산, 한계상태 판정 및 취약도 곡선 산정을 일관되게 수행하고, 공통 계산자료의 재사용과 병렬처리로 계산 부담을 줄이는 해석체계가 필요하다. 또한 표본별 수렴 여부, 최대 유출동수경사의 발생 위치와 시각, 입력조건 및 계산 이력을 저장하여 결과의 추적성과 재현성을 확보해야 한다.

이에 본 연구에서는 하천제방의 침투 취약도 평가를 위한 유한요소 기반 확률론적 침투해석 코드 KSeep2D -PF를 개발하였다. 이 코드는 2차원 포화·불포화 조건의 정상 및 비정상 침투해석을 수행하는 자체 유한요소 솔버와 지층별 포화투수계수의 불확실성을 반영하는 표본 기반 확률해석 절차를 통합한다. GeoStudio 입력자료의 단면 형상, 요소망, 수리특성 및 경계조건을 활용하고, 공통 계산자료와 표본별 정상해의 재사용, 수위 조건 간 공통 표본 적용 및 표본 단위 병렬처리를 구현하였다. 또한 표본응답과 수렴진단의 저장 및 계산 중단 후 재개 기능을 포함하여 다단면 반복 해석의 효율성과 결과의 추적성을 높였다.

본 연구의 목적은 침투해석과 확률론적 평가를 통합한 코드의 구성 및 해석방법을 제시하고, 기준해 및 SEEP/W와의 비교와 실제 하천제방 단면 적용을 통해 코드의 정확성과 적용성을 검증하는 데 있다. 취약도는 지정된 제내지측 유출경계에서 해석기간 중 발생하는 최대 상향 유출동수경사가 허용기준을 초과할 확률로 정의하였다. 따라서 산정된 확률은 유출부 동수경사에 기반한 한계상태 초과확률이며, 파이핑의 진행이나 사면활동, 월류를 포함하는 제방 전체의 붕괴확률과는 구분된다.

2. 연구 방법

2.1 해석 코드의 구성

KSeep2D-PF는 입력자료 처리, 포화·불포화 유한요소 침투해석, 확률표본 생성과 반복해석, 한계상태 평가 및 결과 출력 모듈로 구성하였다(Fig. 1).

Fig. 1.

Overall architecture of KSeep2D-PF.

입력자료에는 제방과 기초지반의 형상, 지층 구분, 유한요소망, 수리특성 및 수위 경계조건이 포함된다. GeoStudio 프로젝트에서 해당 자료를 읽어 내부 해석모형으로 변환하고, 자체 유한요소 솔버로 침투해석을 수행한다. 확률해석에서는 지층별 포화투수계수를 변화시킨 표본마다 정상 및 비정상 침투해석을 수행하고, 최대 유출동수경사의 한계상태 초과 여부로 취약도 곡선을 산정한다.

KSeep2D-PF의 개발 과정에서 일부 코드의 초안 작성과 오류 점검을 위해 OpenAI의 ChatGPT를 보조적으로 활용하였다. 수치해석 절차와 알고리즘, 입력조건 및 기능 요구사항은 저자가 설정하였으며, 제안된 코드는 저자가 검토·수정하고 전체 코드에 통합하였다. 최종 코드의 기능과 수치 정확도는 기준해 및 SEEP/W 결과와의 비교를 통해 검증하였다.

2.2 포화 및 불포화 침투해석

포화 및 불포화 침투해석에는 2차원 Richards 방정식을 적용하였다. 전수두 H, 압력수두 𝜓 및 Darcy 유속 v의 관계는 다음과 같다.

여기서 z는 표고, K(ψ)는 압력수두에 따른 투수계수이다. 질량보존식과 Eq. 1을 결합한 지배방정식은 다음과 같다.

여기서 𝜃는 체적함수율, t는 시간, s는 단위체적당 공급률이며, s>0은 해석영역 내부로의 공급을 의미한다. Eq. 2는 함수율의 시간변화를 유지하는 혼합형 Richards 방정식으로, 본 연구에서는 전수두를 미지수로 사용하였다. 정상해석에서는 저장량의 시간변화항을 제거하였으며, 간극수압 u는 물의 단위중량 γw를 이용하여 u=γwψ로 산정하였다. 재료별 함수율과 투수계수는 입력된 𝜃(𝜓) 및 K(𝜓) 관계로 평가하였다. 포화영역에서는 입력된 체적압축계수에 따른 저류용량을 함수율 변화항에 포함하였다.

공간 이산화에는 3절점 삼각형 요소와 4절점 사각형 요소를 사용하고, 제방 횡단면을 단위 두께를 갖는 2차원 평면 문제로 해석하였다. 시간 이산화에는 후방 오일러법(backward Euler method)을 적용하였다. 형상함수 Na를 가중함수로 사용하고 지정수두 경계에서 시험함수를 영으로 두면, 저장항의 집중화 이전 약형 방정식은 다음과 같다.

여기서 𝛺는 해석영역, Γq는 유량 경계, Δt는 시간간격, n은 시간단계를 나타낸다. 경계의 단위 외향법선벡터를 n이라 할 때, q¯n=v·n은 외향을 양으로 정의한 경계 비유량이다. 따라서 영역 밖으로 유출되는 지정유량은 Eq. 3의 우변에서 음의 부호를 갖는다.

Richards 방정식은 수리특성의 강한 비선형성으로 인해 반복해의 진동과 수렴 지연이 발생할 수 있다. 특히 건조한 지반의 급격한 습윤전선 형성, 지층 간 수리특성의 차이 및 포화·불포화 전이는 수렴을 어렵게 한다(Farthing and Ogden 2017). 저장항의 이산화와 질량행렬 집중화는 질량보존과 수치진동에 영향을 미치며(Celia et al. 1990), 물수지의 일치만으로 시간 정확도가 확보되는 것은 아니다(Ireson et al. 2023). 이에 본 코드에서는 비선형 반복과 시간간격을 제어하고, 유출면 경계의 일관성과 이산평형을 함께 검토하였다.

정상해석에서는 현재 압력수두에 따라 투수계수를 갱신하는 Picard 반복을 적용하였다. 비정상해석에서는 이전 시간단계와 현재 반복상태의 함수율 차이로 할선 저류용량을 산정하고, 행합 집중화(row-sum lumping)로 Eq. 3의 저장항을 근사하였다. 비선형 방정식은 저류용량과 투수계수를 갱신하는 Picard 계열 반복법으로 계산하였다. 수두 보정량에는 완화계수를 적용하고 반복 진행에 따라 완화율을 낮춰 과도한 수두 변화를 억제하였다. 수두 변화 기준을 만족한 후에도 자유절점 잔차의 합에 기반한 이산평형 오차를 검토하고, 필요한 경우 추가 보정 반복을 수행하였다.

경계조건은 지정수두, 지정유량 및 유출면 조건으로 설정하였다. 외수위가 작용하는 경계에서 수면 아래 절점에는 외수위에 해당하는 전수두를 부여하였다. 수면 위의 유출 가능한 구간에서는 계산된 압력수두와 유량 방향에 따라 무유량 조건과 대기압 조건을 반복적으로 갱신하여 유출면을 결정하였다. 유출면에는 𝜓=0, 즉 H=z를 적용하였으며, 경계반력이 허용오차를 초과하는 유입을 나타내면 무유량 조건으로 전환하였다. 내부 반복의 수렴과 유출면 활성집합의 안정 여부를 함께 확인하여 시간단계의 수용 여부를 판단하였다.

각 확률표본의 정상해를 초기조건으로 사용하여 수위이력에 따른 비정상 침투응답을 계산하였다. 비선형 반복이나 유출면 판정이 수렴하지 않으면 시간간격을 줄여 재계산하였다. 정확도 제어 경로에서는 Δt에 대한 해와 두 번의 Δt/2 적분으로 얻은 해를 같은 종료시각에서 비교하는 단계 이분법(step-doubling)을 적용하였다. 다수 표본의 계산에서는 공통 시간간격으로 우선 해석한 뒤, 수렴하지 않거나 추가 검토가 필요한 경우 시간간격 조절과 시간오차 검토를 적용하였다. 최종적으로 채택한 결과의 수두, 함수율, 유출량 및 저장량 변화를 기록하고, 수렴 여부와 물수지를 확인하였다.

2.3 지반 물성의 불확실성과 반복해석

지반 물성의 불확실성은 지층별 포화투수계수를 확률변수로 설정하여 반영하였다. 각 지층의 확률분포와 분포모수는 입력자료에 따라 지정하고, Latin hypercube sampling (LHS)으로 표본을 생성하였다(McKay et al. 1979). 지층 내부에서는 동일한 포화투수계수를 적용하고 지층 간 확률변수는 독립으로 가정하였다.

표본별 불포화 투수계수는 기준 함수의 형상을 유지하면서 포화투수계수의 비율에 따라 다음과 같이 조정하였다.

여기서 j는 지층, r은 표본을 나타내며, Kj,0(ψ)와 Ks,j,0은 각각 기준 투수계수 함수와 기준 포화투수계수이다. Ks,j(r)은 표본추출로 얻은 포화투수계수이며, 함수율–압력수두 관계는 고정하였다.

동일한 표본집합을 모든 수위 조건에 공통으로 적용하고, 표본별 침투해석은 병렬로 수행하였다. 초기 수위와 경계조건이 같은 시나리오에서는 해당 표본의 정상해를 재사용하여 반복 계산을 줄였다.

2.4 침투 한계상태와 취약도 곡선

침투 취약도는 제내지측 유출부의 최대 상향 동수경사가 허용기준을 초과할 확률로 평가하였다. 물성 표본 X와 외수위 조건 𝜂에 대한 최대 상향 유출동수경사는 다음과 같이 산정하였다.

여기서 Tacc는 수치적으로 수용된 계산시각의 집합, Γexit (t)는 설정한 포화도 조건을 만족하는 유출 평가구간이다. 수직좌표 z는 위쪽을 양으로 정의하며, [a]+=max(a,0)으로 하향 동수경사를 제외하였다.

상향 침투에 대한 한계동수경사와 요구안전율을 고려한 허용동수경사는 다음과 같다.

여기서 γ'는 흙의 수중 단위중량, γw는 물의 단위중량, Gs는 토립자 비중, e는 간극비, FSreq는 요구안전율이다. 각 표본의 침투 안전율 FS는 한계동수경사 icr와 최대 상향 유출동수경사 ie,max의 비로 산정하였다. 한계상태 함수는 다음과 같이 정의하였다.

g<0이면 허용동수경사를 초과한 것으로 판정하였다. 수위별 초과확률은 유효 표본수에 대한 초과 표본수의 비율로 추정하였다.

여기서 Nexc는 한계상태 초과 표본수, Nv는 유효 표본수이다. 수위별 초과확률을 연결하여 취약도 곡선을 구성하였다. 이 확률은 설정한 침투 안전기준을 충족하지 못할 가능성이며, 파이핑의 진행이나 제방 전체 붕괴확률과는 구분된다.

3. 결과 및 고찰

3.1 침투해석 코드 검증

개발 코드에 포함된 침투해석 솔버의 정확성과 적용성을 평가하기 위해 정상·비정상 흐름, 강한 불포화 비선형성, 재료 경계 및 유출면 전환을 단계적으로 검증하였다.

3.1.1 Kisch 층상 토주의 정상 침투

KSeep2D-PF의 정상 침투해석 성능을 검증하기 위해 하부 모래층 2.0 m와 상부 점토층 0.5 m로 구성된 Kisch 층상 토주 문제(Kisch 1959)에 적용하였다. 상단에는 압력수두 0을 부여하고, 하단은 각각 압력수두 0과 단위 동수경사 조건으로 설정하였다. 해석결과는 동일한 투수계수 함수를 이용한 1차원 준해석해 및 SEEP/W 결과와 비교하였다.

Fig. 2와 같이 KSeep2D-PF는 두 경계조건에서 간극수압 분포를 잘 재현하였다. 기준해 대비 간극수압 RMSE는 하단 지하수면 조건에서 0.0079 kPa, 자유배수 조건에서 0.0070 kPa로 나타났으며, 침투유량의 상대오차는 두 조건 모두 약 0.21%였다. 이는 SEEP/W의 간극수압 RMSE인 0.0078 및 0.0069 kPa와 유사한 수준으로, KSeep2D-PF의 정상 침투해석 정확성이 확보되었음을 보여준다.

Fig. 2.

Comparison of pore-water pressure profiles for the kisch layered-soil problem.

3.1.2 포화 대수층의 축대칭 양수

KSeep2D-PF의 축대칭 비정상 침투해석을 검증하기 위해 Theis (1935)의 피압대수층 양수 문제에 적용하였다. 대수층 두께는 5 m, 투수계수는 0.002 m/s, 저류계수는 0.05이며, 반경 0.15 m의 완전 관통정에서 0.11781 m³/s로 1,200 s 동안 양수하였다. 초기 전수두는 16 m로 설정하고, 반경 40 m의 외측 경계에서는 전수두를 16 m로 유지하였다.

실제 우물 주변의 흐름은 3차원이지만, 우물 중심축에 대해 지반조건과 경계조건이 동일한 경우에는 반경–연직 평면의 2차원 축대칭 문제로 표현할 수 있다. 본 검증에서는 요소 내부와 경계의 각 적분점에서 계산된 면적 및 선 적분값에 해당 반경의 원주 2πr을 곱하여 3차원 환형 영역의 체적과 유동면적을 반영하였다.

모의 결과는 Fig. 3과 같은데, 반경 4 m에서 KSeep2D- PF의 Theis 해 대비 전수두 RMSE는 0.0053 m였고, 1,200 s에서의 절대오차는 0.0011 m였다. 같은 지점에서 SEEP/W 저장해의 Theis 해 대비 RMSE는 0.0634 m였다. 이러한 차이는 KSeep2D-PF가 출력시각 사이의 내부 시간간격을 세분화하여 계산하기 때문으로 판단된다. SEEP/W와 동일한 10개 시간간격을 적용하면 전체 절점과 시간에 대한 두 코드의 평균 RMSE는 0.0009 m로 감소하였다. 또한 1,200 s 동안의 누적 양수량은 141.372 m³로 설정값과 일치하였고, 누적 물수지 상대오차는 5.2 × 10^-13이었다. 따라서 KSeep2D- PF는 포화 대수층의 축대칭 비정상 양수 거동과 물수지를 적절하게 재현하였다.

Fig. 3.

Comparison of axisymmetric pumping solutions.

3.1.3 건조토의 비정상 불포화 침투

비정상 불포화 침투해석의 정확성을 검증하기 위해 Warrick et al. (1985)이 제시한 건조토 침투 문제에 적용하였다. 높이 1 m의 균질한 sandy clay loam 토주에 초기 압력수두 -8 m를 부여하고, 해석 시작 후 상·하단 압력수두를 각각 0 m와 -8 m로 유지하여 13 h 동안 계산하였다. 요소 크기와 시간간격은 SEEP/W 모델과 동일하게 각각 0.01 m와 468 s로 설정하였다.

모의 결과는 Fig. 4와 같은데, 동일한 해석 조건에서 KSeep2D-PF와 SEEP/W의 전체 압력수두 RMSE는 0.045 m였고, W50 침윤전선 위치의 최대 차이는 0.0018 m였다. 정확도 제어해와 독립적인 1,600셀 유한체적 기준해를 비교한 결과도 압력수두 RMSE 0.045 m, W50위치의 최대 차이 0.0020 m로 나타났다. 최종 누적침투량은 KSeep2D-PF와 SEEP/W에서 각각 0.06865 m와 0.06864 m로 상대차가 0.013%였으며, KSeep2D-PF의 누적 물수지 상대오차는 5.03 × 10^-9이었다. 최종 압력수두 분포와 침윤전선 위치도 Warrick 등의 준해석해를 제시한 GeoStudio 검증 결과와 일관되었다. 따라서 개발 코드는 급격한 침윤전선 이동과 누적침투량을 안정적으로 재현하였다.

Fig. 4.

Comparison of pore-water-pressure profile and W50 wetting-front movement during infiltration into initially dry soil.

3.1.4 층상 모래수조의 정상 침투

2차원 층상 지반의 정상 침투와 다중 침윤면 해석을 검증하기 위해 Rulon and Freeze (1985)의 실내 모래수조 문제에 적용하였다. 해석영역은 길이 2.5 m, 높이 1.0 m이며, 포화투수계수가 각각 1.4 × 10^-3 m/s와 5.5 × 10^-5 m/s인 중간 모래층과 세립 모래층으로 구성하였다. 상부 0.9 m 구간에는 2.1 × 10^-4 m/s의 유량을 공급하고, 하류단에는 전수두 0.3 m와 유출면 조건을 적용하였다.

모의 결과는 Fig. 5와 같은데, 동일한 요소망에서 KSeep2D-PF와 SEEP/W의 전수두 RMSE는 1.13 × 10^-5 m였고, 영압력선 표고의 RMSE는 1.97 × 10^-5 m였다. 최대 동수경사는 각각 2.2955와 2.2957로 상대차가 0.0065%였으며, 발생 위치도 일치하였다. 유입량과 총유출량은 모두 1.89 × 10^-4 m²/s였고, 물수지 상대오차는 8.71 × 10^-10이었다. 또한 하부 수면과 저투수층 상부의 포화면이 분리되는 다중 침윤면을 재현하였다.

Fig. 5.

Total-head contours and water-table comparison for the layered sandbox problem.

Rulon and Freeze의 실험 결과 및 기존 유한요소해석 결과와 비교한 수면 위치 RMSE는 각각 0.0420 m와 0.0279 m였다. 따라서 KSeep2D-PF는 층상 지반에서 발생하는 수두손실과 다중 침윤면을 SEEP/W와 유사한 정확도로 모의하는 것으로 확인되었다.

3.2 미호강 제방 적용을 통한 코드의 적용성 검토

3.2.1 대표단면 및 해석조건

본 절에서는 개발 코드가 실제 제방단면을 대상으로 확률변수 생성, 반복 침투해석, 한계상태 판정 및 취약도 곡선 산정 과정을 일관되게 수행하는지 검토하였다. 미호강 제방 17개 단면에 코드를 적용하고, 입력 확률분포와 표본 생성, 수위별 침투응답 계산, 최대 유출동수경사 추출, 한계상태 초과확률 및 안전율 통계 산정 기능을 단계별로 확인하였다. IBH11은 검토 수위에서 한계상태 초과확률이 0.005–0.615로 변하여 코드의 응답 변화를 넓은 범위에서 확인할 수 있으므로 대표단면으로 선정하였다.

IBH11 해석모형은 제체와 3개 기초지층으로 구성되며, 유한요소망은 19,454개 절점과 19,036개 요소로 구성하였다. Fig. 6은 코드에 입력된 단면 형상, 지층 구성 및 각 지층의 기준 포화투수계수를 제시한다. Layer 1–4의 포화투수계수 중앙값은 각각 3.5 × 10^-5, 5.5 × 10^-5, 4.0 × 10^-6 및 2.0 × 10^-6 m/s이다. 이 값을 기준으로 변동계수 1.0의 로그정규분포를 설정하고 LHS로 지층별 200개 표본을 생성하였다. 이에 따라 표본비율로 산정되는 초과확률의 최소 해상도는 0.005이다. Fig. 7은 설정한 확률밀도함수와 생성된 표본의 분포를 비교하여 코드의 확률변수 생성 기능을 보여준다. 동일한 표본 조합은 27.42–30.56 m 범위의 7개 외수위에 공통으로 적용하였다.

Fig. 6.

Stratigraphy and material properties of the IBH11 section.

Fig. 7.

Prescribed lognormal distributions and LHS samples of layer-specific saturated hydraulic conductivity.

3.2.2 IBH11 단면의 침투응답

코드가 각 확률표본에 대해 비정상 침투해석을 수행하고 한계상태 평가에 필요한 응답을 추출하는지 확인하였다.

Fig. 8은 기준 물성 해석에서 계산된 압력수두 분포와 전체 확률해석에서 탐색된 최대 유출동수경사의 발생 위치를 함께 제시한다. 최댓값은 H = 30.56 m의 47번 표본에서 1.64로 계산되었고, 발생 위치는 x = 78.55 m, z = 24.04 m였다. 마름모로 표시된 지점은 코드에서 추출된 최대동수경사 발생 위치이다.

Fig. 8.

Pressure-head distribution and maximum exit gradient location in the IBH11 section.

3.2.3 확률변수의 영향과 취약도 곡선

확률변수의 변화가 침투응답에 반영되는지 확인하기 위해 최고 검토수위 H = 30.56 m에서 지층별 포화투수계수와 최대 유출동수경사의 관계를 비교하였다. Fig. 9는 200개 표본의 입력값과 계산응답을 안전표본과 한계상태 초과표본으로 구분하여 제시한다. Layer 2의 포화투수계수가 증가할수록 최대 유출동수경사가 뚜렷하게 증가하였으며, Spearman 순위상관계수는 0.91이었다. 이는 코드가 지층별 입력변동을 해석응답으로 전달하고 그 영향을 정량화할 수 있음을 보여준다.

Fig. 10은 코드가 수위별 200개 계산응답을 확률분포로 집계한 결과를 제시한다. 외수위가 상승함에 따라 최대 유출동수경사의 확률밀도함수는 큰 값의 방향으로 이동하고 분포 폭도 증가하였다. 평활 곡선은 Gaussian kernel density estimation을 적용한 시각화 결과이며, 수직 점선은 한계동수경사 0.5를 나타낸다. 한계상태 초과확률은 평활 확률밀도함수의 면적이 아니라 실제 표본 중 한계동수경사를 초과한 비율로 계산하였다.

Fig. 9.

Relationships between layer-specific saturated hydraulic conductivity and maximum exit gradient at H = 30.56 m.

Fig. 10.

Probability density functions of the maximum exit gradient at different river stages.

Fig. 11은 각 수위의 한계상태 초과표본 수로 산정한 초과확률과 Wilson 95% 신뢰구간을 연결한 취약도 곡선이다. 한계상태 초과확률은 H = 27.42, 27.71, 28.03, 28.17, 28.66, 29.61 및 30.56 m에서 각각 0.005, 0.025, 0.070, 0.085, 0.190, 0.350 및 0.615로 증가하였다. 최고 수위에서는 200개 표본 중 123개가 한계상태를 초과하였고 신뢰구간은 0.546–0.680이었다. 수위 증가에 따른 확률밀도함수의 이동이 초과확률 증가와 일관되게 연결된 것은 표본해석, 한계상태 판정 및 취약도 집계 기능이 정상적으로 연계됨을 보여준다.

Fig. 11.

Seepage fragility curve of the IBH11 section.

3.2.4 다단면 적용 결과

개발 코드의 다단면 적용성을 검토하기 위해 미호강 제방 17개 단면에 동일한 확률해석 절차를 적용하였다. Table 1에는 각 단면의 최고 검토수위에서 산정한 기준 안전율, 최소 안전율, 5% 분위 안전율 및 한계상태 초과확률(P_f)을 제시하였다. 기준 안전율은 대표 포화투수계수를 적용한 결정론적 해석값이고, P_f는 200개 표본 중 안전율이 요구기준 2.0보다 작은 표본의 비율이다. 최소 안전율은 계산된 표본 중 가장 불리한 값이며, 5% 분위 안전율은 전체 표본의 약 95%가 이 값보다 큰 안전율을 의미한다.

IBH54는 기준 안전율이 1.659로 요구안전율보다 작았고 P_f도 0.790으로 가장 높았다. 따라서 이 단면은 결정론적 해석과 확률론적 해석에서 모두 침투 안전성이 낮은 것으로 평가되었다.

실무적으로 중요한 결과는 기준 안전율이 요구기준을 만족하더라도 지층별 투수계수의 불확실성을 고려하면 안전율이 크게 낮아질 수 있다는 점이다. IBH11과 IBH120의 기준 안전율은 각각 2.174와 2.188이었으나, P_f는 각각 0.615와 0.455이고 최소 안전율은 각각 0.608과 0.402였다. IBH10도 기준 안전율은 2.715였지만 P_f가 0.120이고 5% 분위 안전율은 1.859로 나타났다. 이는 대표 지반정수를 적용한 한 번의 해석만으로는 불리한 지층조건에서 발생할 수 있는 안전율 저하를 충분히 확인하기 어렵다는 것을 보여준다.

기준 안전율이 높은 단면에서도 일부 불리한 표본은 요구안전율을 만족하지 못하였다. 예를 들어 IBH03과 IBH114의 기준 안전율은 각각 10.241과 7.710이었으나 최소 안전율은 1.468과 1.375였다. 다만 두 단면의 P_f는 각각 0.040과 0.020이고 5% 분위 안전율은 각각 2.563과 2.460이었다. 따라서 이들 단면은 전반적으로 안전성이 낮다기보다 특정한 투수계수 조합에서 제한적으로 낮은 안전율이 발생한 것으로 해석할 수 있다. 최소 안전율은 가장 불리한 단일 표본의 결과이므로, 단면의 안전성을 판단할 때에는 P_f와 5% 분위 안전율을 함께 검토해야 한다.

반면 IBH07, IBH113, IBH122 및 IBH22에서는 200개 표본 모두 안전율이 2.0 이상으로, 한계 상태 초과율이 0에 가까운 것으로 판단할 수 있다. 이처럼 확률해석을 적용하면 대표 조건에서는 안전하지만 불리한 조건에서 안전율이 낮아질 수 있는 단면과, 검토한 모든 조건에서 요구안전율을 만족하는 단면을 구분할 수 있다.

이상의 적용 결과는 개발 코드가 확률 입력의 생성부터 침투응답의 반복 계산, 한계상태 초과 여부의 판정, 초과확률·신뢰구간·안전율 분위수의 산정까지 전 과정을 수행함을 보여준다. 특히 결정론적 해석에서 얻기 어려운 초과확률, 하위 영역 안전율, 응답범위를 함께 제시함으로써 확률론적 침투 취약도 해석 기능과 실제 단면 적용성을 확인하였다.

3.2.5 병렬 계산 효율

확률표본별 침투해석은 서로 독립적이므로 표본 단위의 병렬처리를 적용하였다. 24개의 물리 CPU 코어 중 18개 작업자 프로세스를 사용한 결과, 단일 작업자 계산시간의 추정값에 대한 속도향상비는 14.38–15.86배였으며 중앙값은 15.55배로 나타났다(Table 2). 이는 이상적인 속도향상비 18배에 대한 병렬효율이 약 79.9–88.1%이고, 단일 작업자 실행 대비 계산시간이 약 93.0–93.7% 감소한 수준이다. 따라서 개발 코드의 병렬처리는 대규모 확률론적 침투해석의 계산시간을 효과적으로 줄일 수 있다. 다만 속도향상비는 저장된 비정상해석 시간의 합을 단일 작업자 계산시간으로 간주하여 산정한 추정값이다.

4. 요약 및 결론

본 연구에서는 하천제방의 침투 취약도를 확률론적으로 평가하기 위한 유한요소 기반 해석 코드 KSeep2D- PF를 개발하였다. 개발 코드는 2차원 포화·불포화 침투해석, 지층별 포화투수계수의 확률표본 생성, 반복해석, 유출동수경사에 따른 한계상태 판정 및 취약도 곡선 산정을 하나의 해석체계로 통합하였다. 주요 연구 결과는 다음과 같다.

(1)Kisch 층상 토주, Theis 축대칭 양수, Warrick 건조토 침투 및 Rulon and Freeze 층상 모래수조 문제를 이용하여 침투해석 기능을 검증하였다. Kisch 문제의 침투유량 상대오차는 약 0.21%, Theis 해 대비 전수두 RMSE는 0.0053 m로 나타났다. 건조토 침투에서는 SEEP/W와의 최종 누적침투량 차이가 0.013%였으며, 층상 모래수조에서는 전수두 RMSE와 최대 동수경사 상대차가 각각 1.13×10^-5 m와 0.0065%로 나타났다. 이를 통해 정상·비정상 및 포화·불포화 조건에서 SEEP/W와 유사한 수준의 해석 정확도가 확보되었음을 확인하였다.

(2)미호강 IBH11 단면에 대한 적용 결과, 외수위가 27.42 m에서 30.56 m로 상승함에 따라 한계상태 초과확률 P_f는 0.005에서 0.615로 증가하였다. 최고 검토수위에서는 Layer 2의 포화투수계수와 최대 유출동수경사 사이의 Spearman 순위상관계수가 0.91로 나타났다. 이러한 결과는 개발 코드가 확률변수의 변화를 침투응답에 반영하고, 표본별 최대 유출동수경사를 추출하여 수위별 취약도 곡선으로 집계하는 전 과정을 일관되게 수행함을 보여준다.

(3)동일한 해석절차를 미호강 제방 17개 단면에 적용한 결과, 각 단면별 최고 검토수위에서 P_f는 0.000- 0.790의 범위로 나타났다. 특히 IBH11과 IBH120은 대표 투수계수에 의한 결정론적 안전율이 각각 2.174와 2.188로 요구안전율을 만족하였으나, 확률론적 해석에서는 P_f가 각각 0.615와 0.455로 산정되었다. 이는 결정론적 해석에서 확인하기 어려운 불리한 투수계수 조합의 발생 가능성, 하위 영역 안전율 및 응답범위를 개발 코드가 정량화할 수 있음을 의미한다.

(4)18개 작업자 프로세스를 사용한 결과, 저장된 비정상해석 시간을 기준으로 추정한 속도향상비는 14.38-15.86배, 병렬효율은 79.9-88.1%로 나타났다. 따라서 표본 단위 병렬처리는 다수의 확률표본과 수위조건을 반복 계산하는 데 필요한 시간을 효과적으로 줄이는 것으로 확인되었다.

KSeep2D-PF는 확률표본 생성, 반복 침투해석, 한계상태 판정, 통계처리 및 결과 저장을 하나의 절차로 통합함으로써 확률론적 침투평가의 실무 적용에 필요한 계산 및 운영 부담을 줄일 수 있다. 코드에서 산정되는 한계상태 초과확률, 신뢰구간 및 안전율 분위수는 취약 단면의 선별과 현장조사·정밀해석·보강사업의 우선순위 결정에 필요한 정량적 정보를 제공한다. 따라서 개발 코드는 국내 하천제방 실무에서 확률기반 침투안전성 평가의 도입과 활용을 활성화하는 기반으로 활용될 수 있을 것으로 기대된다.

향후에는 현장 계측자료를 이용한 수리특성 보정, 공간확률장과 변수 간 상관성의 도입, 파이핑 및 사면활동 등 다른 한계상태와의 연계가 필요하다. 이러한 보완과 현장 적용사례의 축적이 이루어진다면, KSeep2D-PF는 기존 결정론적 평가를 보완하는 실무적 의사결정 지원도구로서 국내 하천제방의 확률기반 안전관리 체계 구축에 기여할 수 있을 것으로 기대된다.